Midiendo lo invisible

Observe un disco compacto (CD) o un videodisco digital (DVD). Notará que al menos una de sus superficies se verá plateada, como un espejo, capaz de reflejar la imagen de su entorno. Ahora, si el día es despejado, coloque el disco en algún lugar soleado tomando precauciones para no ver directamente el reflejo del sol, el cual podría cegarlo. Si el día no fuese soleado, podría iluminar el disco con alguna lámpara, mientras más intensa, pequeña y lejana, mejor. Incline el disco hacia uno y otro lado. ¿Nota las franjas de colores que aparecen sobre la superficie plateada del disco (ver figura 1)? ¿No le parecen bellísimas por su brillo y saturación? Seguramente podrá ver todos los  colores del arcoiris, desde un violeta profundo hasta el rojo, pasando por el índigo, azul, verde, amarillo, naranja y una infinidad de colores intermedios, todos ellos más saturados que los del mismo arcoiris. Al mover el disco verá que estos colores bailan, se desplazan y giran, desaparecen y reaparecen en otra parte. Seguramente, le interesará saber ¿de dónde vienen estos colores? ¿cómo se producen? El origen de los colores es un tema fascinante de la física y su estudio ha contribuido a avances revolucionarios como fue el desarrollo de la mecánica cuántica durante la primera mitad del siglo XX. En general, el estudio del color de un cuerpo nos da información sobre su estructura electrónica, atómica y molecular, así como de su textura microscópica. Los colores de las estrellas nos dicen incluso de qué están compuestas y cómo se mueven. El surgimiento de  colores en los discos digitales, dependientes de la orientación relativa entre la fuente de luz, la superficie y el observador, se conoce como  iridiscencia, fenómeno íntimamente asociado a la naturaleza ondulatoria de la luz, a su difracción e interferencia. La iridiscencia, también puede observarse en las burbujas de  jabón, en las manchas de aceite sobre el asfalto mojado, en la concha nacar y en las conchas de otros moluscos (ver figura 2), en las plumas de algunas  aves, en los ojos de los insectos, en los caparazones de algunos escarabajos, en algunas piedras semipreciosas, etc.

En la figura 3 mostramos un corte transversal de la superficie de un CD cuya información se guarda codificada mediante el grabado de un surco microscópico que forma una espiral.  Si la desenrrolláramos, esta espiraltendría algunos kilómetros de   longitud, la distancia  necesaria para poder codificar en forma binaria los 70-80 minutos que duran en total la decena de canciones que típicamente contiene. Claramente, para que quepa en la superficie del CD, el surco debe ser sumamente angosto y la distancia a entre surcos consecutivos debe ser extremádamente pequeña. El lector ¿ha visto estas líneas? Aunque cada centímetro cuadrada de la superficie está cruzada por miles de estos surcos, formando un arreglo periódico, éstos son tan angostos que son invisiblesal ojo humano.  Cuando luz de un color determinado atraviesa el sistema, emerge en varias direcciones, sedifracta. La etimología del término difracción refiere al latín diffractus, romperse en pedazos.

Algunos fenómenos ópticos pueden explicarse como si la luz consistiera de haces de partículas que se propagan libremente en línea recta. Cuando dichas partículas chocan con una  superficie, se reflejan como cuando una bola de billar choca con la banda de una mesa de carambola, obedeciendo por tanto la ley de la reflexión. En ocasiones también se transmiten, cambiando su velocidad y por tanto su dirección de propagación, refractándose de acuerdo a la ley de la refracción conocida como ley de Snell. En 1704 Newton explicó muchas de las propiedades de la luz postulando  partículas de luz con distintos tamaños, uno para cada color, y con distintos grados de refrangibilidad. Basta con entender la propagación rectilínea de los rayos de luz y las leyes de la reflexión y refracción para explicar cómo forman imágenes los instrumentos ópticos como microscopios y telescopios, e inclusive, nuestros ojos. Sin embargo, hay  fenómenos que no pueden explicarse satisfactoriamente más que recurriendo a la naturaleza ondulatoria de la luz. Uno de ellos es la iridiscencia asociada a la difracción.

Movimientos Ondulatorios

Seguramente, alguna vez durante su infancia se detuvo a jugar a la orilla de un lago de aguas tranquilas arrojándole piedras intentando hacerles dar varios saltos sobre la superficie del agua. Recuerde las ondulaciones producidas en la superficie, pequeñas olas que se alejaban en círculos concéntricos del punto donde impactaba la piedra.  En éstas, las partículas de agua se movían hacia arriba y hacia abajo, subían y bajaban varias veces una distancia pequeña, sin alejarse de su posición inicial, mientras que la señal se propagaba a través de todo el lago alcanzando la orilla opuesta; un movimiento localizado da origen a un movimiento extendido capaz de transportar energía. Imagine una larga hilera de miles de  fichas de dominó [ver referencia 1] cada una parada cerca de la siguiente; la caída de la primera, un movimiento local, empujaría a la segunda, la cual al caer empujaría a la tercera y así sucesivamente. Claramente, aunque las fichas, la materia, no se propague, su movimiento puede llegar immensamente lejos. Así se propagan las olas en el agua; así se propaga la luz: como ondas.

Regresando a las olas, imaginemos que simultáneamente caen dos piedras en el agua en lugares separados. Cada una será fuente de una onda en forma de un conjunto de olas concéntricas, cada cresta seguida de un valle y luego de otra cresta, etc. ¿Qué pasa cuando llegan a un mismo punto ondas  provenientes de las dos fuentes? Lo que observaríamos es que la altura de la superficie sería la suma de las alturas que produciría cada una de las dos ondas como si la otra no existiera; los movimientos simplemente se superponen. En algunos lugares llegarán simultáneamente dos crestas y más tarde dos valles, produciendo una cresta más alta y un valle más profundo. En otros llegará una cresta desde una fuente junto con un valle desde la otra y la suma algebraica de sus alturas se anulará. El primer caso se conoce como interferencia   constructiva y el segundo como interferencia destructiva.  Para entender más sobre estos conceptos aplicados a la descripción ondulatoria de la luz podría consultar la referencia 2. Una revisión histórica y formal de la explicación de la difracción de la luz puede encontrarse en la referencia 3.

Durante algún tiempo se creyó que la luz era una especia de ola propagándose en una medio llamado eter luminífero. El desarrollo de la teoría especial de la relatividad [ver la referencia 4] llevó a la desaparición del eter: la luz es una onda curiosa que se propaga en el espacio vacío, sin medio alguno que ondule.

Difracción

Las ondas luminosas de color puro consisten en oscilaciones periódicas y pueden caracterizarse por su longitud de onda, denotada por el símbolo λ, que representa la  distancia entre dos crestas contiguas de la onda correspondiente. En la figura 4 se muestran tres trenes de ondas que llegan a la superficie de un CD como la ilustrada en la figura 3, donde son dispersadas por las muescas. La luz incidente excita a los electrones del CD, partículas cargadas las cuales debido a su movimiento emiten luz secundaria. Cada muesca se comporta como una fuente de frentes de luz esféricos que se alejan de ella en todas direcciones, como las olas circulares que se alejan de una piedra que cae en el agua. En el panel izquierdo de la figura se ilustran las ondas que emergen en la misma dirección que la luz incidente. Notamos que todas las ondas secundarias que viajan en esta dirección están en fase e interfieren constructivamente, es decir, coinciden las crestas y valles de cada una con las crestas y valles de las demás. Esperamos por tanto que en dicha dirección la luz sea muy intensa. Este es el llamado orden cero de difracción. El panel central muestra ondas dirigidas en ciertas direcciones en las que las crestas de una onda corresponden a los valles de la siguiente, pues cada onda se adelanta una distancia  λ/2 de la que le sigue. En estas direcciones la interferencia sería destructiva y la intensidad luminosa sería nula. Por tanto, no hay luz difractada en esa dirección. En el panel derecho se muestra que la superposición se vuelve constructiva de nuevo cuando la diferencia entre cada onda y la que le sigue es de una longitud de onda completa. En general, hay interferencia constructiva y por tanto un haz luminoso intenso sólo en aquellas direcciones en las que la diferencia de camino óptico es un múltiplo entero de la longitud de onda mλ, dando origen a órdenes de difracción con m=0,±1, ±2… Observando la figura 4 y recordando nuestros cursos de trigonometría obtenemos las direcciones correspondientes θ_m resolviendo la ecuación  a sen(θ_m)=mλ.

Como el seno de un ángulo no puede ser mayor que el número 1, esta ecuación sólo tiene unas pocas soluciones. Si la distancia a entre surcos fuera muy pequeña, la única solución sería θ₀=0 y toda la luz se seguiría de frente, como si la superficie fuera plana. Por eso es que no podemos ver luz dispersada por un vidrio cuando este está pulido con un abrasivo fino, pero sí cuando está rayado con un abrasivo grueso. Notamos también que en la ecuación anterior, todos los ángulos, excepto el correspondiente al orden cero, dependen de la longitud de onda y por lo tanto del color. Es por esto que distintos colores se difractan en distintas direcciones, y por ello el disco se ve de muchos colores.

Experimento

Mencionamos arriba que los surcos en un CD son invisibles. Sin embargo, la magia de la física y un poco de matemáticas nos permitirán medirlos. Para ello, consiga un amigo y pídale un CD viejo, con música pasada de moda que  ya no le interese volver a escuchar, y rómpalo. Será fácil quitarle a alguno de los fragmentos la película metálica que le proporciona su caracter reflector quedándose con un fragmento de plástico transparente. Consiga un apuntador laser (se suelen vender en las papelerías), ilumine el fragmento de disco transparente y proyecte la luz transmitida sobre el muro de un cuarto, de preferencia obscurecido, como muestra la figura 5. Seguramente podrá observar un punto luminoso central muy intenso y otros dos puntos a uno y otro lado un poco menos intensos. El punto central corresponde al orden de difracción 0 mientras que los dos puntos a sus lados corresponden a los órdenes 1 y -1. Quizás también pueda observar otros dos puntos más alejados, correspondientes a los órdenes 2 y -2. Ahora, midamos. Fije el disco sobre una mesa con su superficie paralela al muro e ilumínelo con la dirección del haz perpendicular al muro. Pídale a su amigo (seguramente, haber roto su disco no romperá la amistad) que sin voltear hacia atrás para evitar que la luz laser lo ciegue, mida con una cinta métrica la distancia D entre el punto central y el primer orden de difracción. Con el laser apagado, mida también la distancia L desde el muro hasta el disco. Recordando ahora nuestros cursos de trigonometría, notamos que la tangente del ángulo θ₁ estará dada por el cociente tan(θ₁)=D/L. Como vimos arriba, a sen(θ₁)=λ, de donde podemos despejar la distancia entre surcos a=λ/sen[atan(D/L)]. La luz emitida por los apuntadores laser económicos suele ser roja, con una longitud de onda cercana a λ=650 nanómetros (un nanómetro es una millonésima de milímetro). Los láseres verdes suelen ser más caros y su luz tiene típicamente una longitud de onda de 532nm. En ocasiones, el laser tiene etiquetada su longitud de onda. Con estos datos y sus mediciones, ¿qué resultado obtuvo el lector? ¿Había medido Ud. antes alguna cantidad así de pequeña? Nosotros obtuvimos a=1.33 micrómetros entre línea y línea (un micrómetro es una millonésima de metro, i.e., una milésima de milímetro) correspondiente a casi 8,000 líneas por centímetro.

Hemos mostrado cómo conociendo los atributos de la luz podemos medir cantidades minúsculas invisibles a nuestros ojos, como son los surcos microscópicos que guardan la música de  nuestros discos compactos. Análogamente, podríamo obtener las propiedades mismas de la luz midiendo su difracción por sistemas conocidos y bien caracterizados. Usando radiación electromagnética con longitudes de onda aún más pequeñas que las de la luz visible, como son los rayos X o los electrones, los cuales se comportan como ondas de acuerdo a la mecánica cuántica, podemos medir propiedades de objetos aún más pequeños, como son las moléculas y sus enlaces.  Hemos ilustrado con este ejemplo como la física,  que etimológicamente denota el estudio de la naturaleza, va mucho más allá de aquellos fenómenos que son directamente accesibles a nuestros sentidos.

Agradecemos el apoyo recibido de DGAPA-UNAM IN108413.

Artículo publicado originalmente “Midiendo lo invisible” en el periódico Unión de Morelos por miembros de la Academia de Ciencias de Morelos A.C.